Question

19．如圖，矩形ABCD的邊長是常量，點E在AD上以每秒3個單位的速度從D運動到A，當運動時間為1秒時，△ABE的面積為10；當運動時間為2秒時，△ABE的面積為4．
（1）設(shè)AD=a，AB=b，點E的運動時間為t秒，△ABE的面積為S，用含a，b，t的式子表示S；
（2）求a和b的值；
（3）求運動時間為0.5秒時，△ABE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)路程=速度×時間得出DE=3t，則AE=AD-DE=a-3t，再根據(jù)S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•AB，代入數(shù)據(jù)即可求出S=$\frac{1}{2}$ab-$\frac{3}{2}$bt；
（2）將t=1，S=10；t=2，S=4分別代入（1）中所求解析式，得出關(guān)于a、b的方程組，求解即可求出a和b的值；
（3）由（2）可得S=16-6t，將t=0.5代入計算即可求解．

解答 解：（1）∵點E在AD上以每秒3個單位的速度從D運動到A，AD=a，
∴DE=3t，AE=AD-DE=a-3t，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•AB=$\frac{1}{2}$（a-3t）•b=$\frac{1}{2}$ab-$\frac{3}{2}$bt，
即S=$\frac{1}{2}$ab-$\frac{3}{2}$bt；

（2）∵當運動時間為1秒時，△ABE的面積為10，
∴$\frac{1}{2}$ab-$\frac{3}{2}$b=10，
∵當運動時間為2秒時，△ABE的面積為4，
∴$\frac{1}{2}$ab-3b=4．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ab-\frac{3}{2}b=10}\\{\frac{1}{2}ab-3b=4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=4}\end{array}\right.$，
即a的值為8，b的值為4；

（3）∵a=8，b=4，
∴S=$\frac{1}{2}$×8×4-$\frac{3}{2}$×4t，即S=16-6t，
運動時間為0.5秒時，將t=0.5代入S=16-6t，
得S=16-6×0.5=13．
即△ABE的面積為13．

點評 本題是四邊形綜合題，其中涉及到路程、速度與時間關(guān)系的應(yīng)用，三角形的面積，求函數(shù)解析式以及代數(shù)式求值．用含a，b，t的式子正確表示出S是解題的關(guān)鍵．