Question

已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），△DBC為等邊三角形．
（1）如圖1，∠ABD=

 

（用含α的式子表示）；
（2）如圖2，若∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，直線AD與CE的夾角是

 

；
（4）在（2）的條件下，若BC=4cm，∠CED=45°，則α=

 

；AD=

 

cm．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據等邊對等角得出∠ABC=∠ACB，再根據三角形的內角和定理得出∠ABC=90°-

1

2

α，最后根據∠DBC=60°，即可得出答案；
（2）連接AD，先證出△ABD≌△ACD，得出∠ADB=∠ADC，再根據∠BDC=60°，求出∠ADB=150°，得出∠ADB=∠BCE，再證出∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，根據ASA得出△ABD≌△EBC，從而得出AB=BE，即可證出△ABE是等邊三角形；
（3）先求出∠BCF=30°，根據∠DCB=60°，得出∠DCF=90°，再根據∠ADC=150°，得出∠F=60°即可；
（4）根據已知條件先求出∠DCE=90°，再根據∠DEC=45°，得出△DEC為等腰直角三角形，得出DC=CE=BD=4cm，再根據∠BAD=∠ABD=15°，得出AD=DB=4cm，∠BAC=30°，從而求出α的值．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=

180-α

2

=90°-

1

2

α，
∵△DBC為等邊三角形，
∴∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-

1

2

α-60°=30°-

1

2

α；
故答案為：30°-

1

2

α；

（2）△ABE是等邊三角形；
如圖1，理由如下：連接AD，
∵△DBC為等邊三角形，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
在△ABD和△ACD中，

AB=AC AD=AD DB=DC

，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠BDC=60°，
∴∠ADB=

360-60

2

=150°，
∴∠ADB=∠BCE，
∵∠ABE=60°，∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，

∠ABD=∠EBC BD=BC ∠ADB=∠BCE

，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB=BE，
∴△ABE是等邊三角形；

（3）如圖2，∵∠BCE=150°，
∴∠BCF=30°，
∵∠DCB=60°，
∴∠DCF=90°，
∵∠ADC=150°，
∴∠CDF=30°，
∴∠F=60°；
故答案為：60°；

（4）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，
∴∠DCE=150°-60°=90°，
∵∠DEC=45°，
∴△DEC為等腰直角三角形，
∴DC=CE=BD=4cm，
∵∠BCE=150°，
∴∠BEC=

1

2

（180°-150°）=15°，
∴∠BAD=∠ABD=15°，
∴AD=DB=4cm，
∴∠BAC=30°，
∴α=30°．
故答案為：30°，4．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，用到的知識點是等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的內角和定理，關鍵是找出全等三角形．