Question

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜90°）得△GHC，連結(jié)BH、CH．CH交AB于點D，GH交AB、AC于點E、點F．
（1）在圖中不添加其它任何線段的情況下，請你找出一對全等三角形，并加以證明．（△ABC與△GHC全等除外）
（2）當(dāng)△BHD是等腰三角形時，求α．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）依據(jù)全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CGF或△AEF≌△HED或△ACD≌△HCF等．由旋轉(zhuǎn)的意義可證∠GCF=∠BCD，GC=BC，∠G=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CGF．
（2）當(dāng)△BBD是等腰三角形時，要分別討論HB=HD、BH=BD、HD=DB三種情況，第一，三種情況不成立，只有第二種情況成立，求得α=30°．

解答：解：如圖所示，

（1）全等的三角形有：△CBD≌△CGF或△AEF≌△HED或△ACD≌△HCF等；
以證△CBD≌△CGF為例：
證明：∵∠ACH+∠GCF=∠ACH+∠BCD=90°，
∴∠GCF=∠BCD，
∵GC=BC，
∴∠G=∠CBD=45°，
∴△CBD≌△CGF；
（2）在△CBH中，
∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB=

1

2

（180°-α），
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
①若HB=HD，則∠HDB=∠HBD，
∵∠HDB=45°+α，
∠HBD=∠CBH-45°=

1

2

（180°-α）-45°=45°-

α

2

，
∴45°+α=45°-

α

2

，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BHC=∠HBC＞∠HBD，
∴BD＞HD，即BD≠HD；
③若BH=BD，則∠BDH=∠BHD，
即45°+α=

1

2

（180°-α），
∴α=30°，
由①②③可知，當(dāng)△BHD為等腰三角形時，α=30°．

點評：本題考查了全等三角形的判定，綜合應(yīng)用直角三角形性質(zhì)解直角三角形，進(jìn)行邏輯推理能力和運算能力．