Question

如圖，在⊙O中，

AB

=

AC

，∠ACB=60°．
（1）求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）若D是

AB

的中點(diǎn)，求證：四邊形OADB是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：圓心角、弧、弦的關(guān)系,菱形的判定,圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由

AB

=

AC

得AB=AC，加上∠ACB=60°，則可判斷△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=CA，于是根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）連接OD，如圖，由D是

AB

的中點(diǎn)得

AD

=

BD

，則根據(jù)圓周角定理得∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，易得△OAD和△OBD都是等邊三角形，則OA=AD=OD，OB=BD=OD，所以O(shè)A=AD=DB=BO，于是可判斷四邊形OADB是菱形．

解答：證明：（1）∵

AB

=

AC

，
∴AB=AC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）連接OD，如圖，
∵D是

AB

的中點(diǎn)，
∴

AD

=

BD

，
∴∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，
又∵OD=OA，OD=OB，
∴△OAD和△OBD都是等邊三角形，
∴OA=AD=OD，OB=BD=OD，
∴OA=AD=DB=BO，
∴四邊形OADB是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理．