Question

已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：6，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，求證：

a

b

=

a+b

a+b+c

．

Answer 1

考點：正弦定理與余弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出△ABC三個內(nèi)角的度數(shù)，要證

a

b

=

a+b

a+b+c

，只需證a²+ab+ac=ab+b²即a（a+c）=b²，延長CB到點D，使得BD=BA，連接AD，只需證CB•CD=CA²，只需證△CAB∽△CDA，即可解決問題．

解答：解：設(shè)∠BAC=α，
由∠BAC：∠ABC：∠C=1：2：6可得∠B=2α，∠C=6α．
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴α+2α+6α=180°，
解得：α=20°，
∴∠BAC=20°，∠ABC=40°，∠C=120°．
延長CB到點D，使得BD=BA=c，連接AD，如圖所示．
∵BD=BA，∠ABC=40°，
∴∠D=∠DAB，∠ABC=∠D+∠DAB=40°，
∴∠D=20°，
∴∠D=∠BAC．
∵∠C=∠C，∠BAC=∠D，
∴△CAB∽△CDA，
∴

CA

CD

=

CB

CA

，
∴

b

a+c

=

a

b

．
設(shè)

b

a+c

=

a

b

=k，
則有b=k（a+c），a=kb．
∴

a+b

a+b+c

=

kb+k(a+c)

a+b+c

=

k(a+b+c)

a+b+c

=k，
∴

a

b

=

a+b

a+b+c

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識，構(gòu)造相似三角形得到

b

a+c

=

a

b

是解決本題的關(guān)鍵．