Question

4．閱讀下列材料：各邊都相等，各角也都相等的多邊形是正多邊形（正n邊形），如：等邊三角形、正方形都是正多邊形．對于任意n邊形（n≥3）從一個頂點出發(fā)都可以把多邊形分成（n-2）個三角形，所以n邊形的內(nèi)角和為（n-2）•180°，正n邊形的每個內(nèi)角為$\frac{（n-2）•180°}{n}$．解答下列問題：
（1）正三角形的每個內(nèi)角是60度；正四邊形的每個內(nèi)角是90度；正五邊形的每個內(nèi)角是108度．
（2）已知：如圖，分別在正三角形ABC，正四邊形ABCM，正五邊形ABCMN的邊上截取CD和BE，且滿足CD=BE，連結(jié)AE、BD交于P．
①請你分別寫出圖1、圖2和圖3中，∠APD的度數(shù)并選擇其中一個說明理由；
②觀察特點并寫出任意正n邊形滿足上述條件時，∠APD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）把n的值分別代入$\frac{（n-2）•180°}{n}$進(jìn)行計算即可；
（2）①由觀察圖形可以看出∠APD是△APB的一個外角，∠APD=∠BAE+∠ABD．又可得出△ABE≌△BCD，由此便可求出∠APD的度數(shù)，∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°；∠APD易證等于∠M，即等于多邊形的內(nèi)角．
②點E、D分別是正n邊形ABCM中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，BD與AE交于點P，∠APD等于正n邊形的內(nèi)角，就可以求出．

解答 解：（1）正三角形的每個內(nèi)角是：$\frac{（3-2）•180°}{3}$=60°；
正四邊形的每個內(nèi)角是：$\frac{（4-2）•180°}{4}$=90°；
正五邊形的每個內(nèi)角是：$\frac{（5-2）•180°}{5}$=108°．
故答案是：60；90；108；

（2）①如圖①，∠APD=60°，理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°．
∵在△ABE與△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠ABE=∠BCD=60°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD（SAS）．
∴∠BAE=∠CBD．
∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．

如圖②，∠APD=90°，理由如下：
同理可證：△ABE≌△BCD，
∴∠AEB+∠DBC=180°-90°=90°，
∴∠APD=∠BPE=180°-90°=90°；

如圖③，∠APD=108°，理由如下：
同理可證：△ABE≌△BCD，
∴∠AEB+∠DBC=180°-108°=72°，
∴∠APD=∠BPE=180°-（∠AEB+∠DBC）=180°-72°=108°．

②能．如圖④，點E、D分別是正n邊形ABCM中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，BD與AE交于點P，則∠APD的度數(shù)為$\frac{（n-2）•180°}{n}$．

點評 此題主要考查了四邊形綜合題，此題應(yīng)當(dāng)根據(jù)正多邊形的性質(zhì)證明一對全等三角形，再結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)要求的角總等于正多邊形的一個內(nèi)角．