Question

18．已知拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx$經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）．設(shè)點(diǎn)C（3，-3），請(qǐng)?jiān)趻佄锞�的對(duì)稱軸上確定一點(diǎn)D，使得|AD-CD|的值最大，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．

Answer 1

分析 依照題意畫出圖形，連接AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，根據(jù)三角形內(nèi)兩邊之差小于第三邊可得出此種作法得出的點(diǎn)D使得|AD-CD|的值最大，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得出關(guān)于b的一元一次方程，解方程即可得出拋物線的解析式，由拋物線的解析式可得出拋物線的對(duì)稱軸的解析式，由待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，令x=1即可得出結(jié)論．

解答 解：依照題意畫出圖形，連接AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，此時(shí)|AD-CD|的值最大，如圖所示．

∵拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx$經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），
∴有0=2+2b，解得：b=-1．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-x，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{-1}{2×\frac{1}{2}}$=1．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=2k+b}\\{-3=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-3x+6．
令x=1，則y=-3+6=3．
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）．
故答案為：（1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定點(diǎn)D的位置是解題的關(guān)鍵．