Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx-4（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（-1，0）兩點，過點A的直線y=-x+4交拋物線于點C．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在直線AC上有一動點E，當(dāng)點E在某個位置時，使△BDE的周長最小，求此時E點坐標(biāo)；
（3）當(dāng)動點E在直線AC與拋物線圍成的封閉線A→C→B→D→A上運動時，是否存在使△BDE為直角三角形的情況，若存在，請直接寫出符合要求的E點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先判斷出周長最小時BE⊥AC，即作點B關(guān)于直線AC的對稱點F，連接DF，交AC于點E，聯(lián)立方程組即可；
（3）三角形BDE是直角三角形時，由于BD＞BG，因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°，兩種情況，利用直線垂直求出點E坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（-1，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-4=0}\\{a-b-4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-3x-4，
（2）如圖1，
作點B關(guān)于直線AC的對稱點F，連接DF交AC于點E，
由（1）得，拋物線解析式為y=x²-3x-4①，
∴D（0，-4），
∵點C是直線y=-x+4②與拋物線的交點，
∴聯(lián)立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴C（-2，6），
∵A（4，0），
∴直線AC解析式為y=-x+4，
∵直線BF⊥AC，且B（-1，0），
∴直線BF解析式為y=x+1，
設(shè)點F（m，m+1），
∴G（$\frac{m-1}{2}$，$\frac{m+1}{2}$），
∵點G在直線AC上，
∴-$\frac{m-1}{2}+4=\frac{m+1}{2}$，
∴m=4，
∴F（4，5），
∵D（0，-4），
∴直線DF解析式為y=$\frac{9}{4}$x-4，
∵直線AC解析式為y=-x+4，
∴直線DF和直線AC的交點E（$\frac{32}{13}$，$\frac{20}{13}$），
（3）∵BD=$\sqrt{17}$，
由（2）有，點B到線段AC的距離為BG=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$＜BD，
∵B（-1，0），D（0，-4），
∴直線BD解析式為y=-4x+4，
∵△BDE為直角三角形，
∴①∠DBE=90°，
∴BE⊥BD交AC于E，
∴直線BE解析式為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{4}$，
∵點E在直線AC：y=-x+4的圖象上，
∴E（3，1），
②∠BDE=90°，
∴DE⊥BD交拋物線于E，
∴直線DE的解析式為y=$\frac{1}{4}$x-4，
∵點E在拋物線y=x²-3x-4上，
∴直線DE與拋物線的交點為（0，-4）和（$\frac{13}{4}$，-$\frac{51}{16}$），
∴E（$\frac{13}{4}$，-$\frac{51}{16}$），
即：滿足條件的點E的坐標(biāo)為E（3，1）或（$\frac{13}{4}$，-$\frac{51}{16}$）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，極值，對稱性，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．