Question

19．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，求∠BFC的度數(shù)．
（2）若∠A=70°，求∠BFC的度數(shù)；
（3）若∠BFC=120°，求∠A的度數(shù)；
（4）根據(jù)上述信息，試探究∠A與∠BFC之間的關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再根據(jù)三角形內角和定理求出即可；
（2）根據(jù)三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)角平分線定義求出∠FBC+∠FCB，根據(jù)三角形內角和定理求出即可；
（3）根據(jù)三角形內角和定理求出∠FBC+∠FCB，求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)三角形內角和定理求出即可；
（4）根據(jù)角平分線的定義可得∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，然后表示出∠FBC+∠FCB，再根據(jù)三角形的內角和等于180°列式整理即可得證．

解答 解：（1）∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F，∠ABC=40°，∠ACB=50°，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=25°，
∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=135°；

（2）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB=55°，
∴∠NFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=62.5°；

（3）∵∠BFC=120°，
∴∠FBC+∠FCB=180°-∠BFC=60°，
∵∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=60°；

（4）∠BFC=90°+$\frac{1}{2}∠$A，
理由是：∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點F，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
在△FBC中，∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

點評 本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關鍵．