Question

7．如圖，直線y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{11}{2}$與x軸交于B，與直線y=-$\frac{4}{3}$x相交于A，線段AB的垂直平分線CD分別與AB，x軸，y軸交于點C，E，D．
（1）直接寫出點A，C，E，D的坐標；
（2）直接寫出直線CD的解析式．

Answer 1

分析 （1）先確定B點坐標（11，0），再通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{11}{2}}\\{y=-\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$得A（3，-4），接著根據(jù)線段中點坐標公式得到C點坐標為（7，-2）；設(shè)直線y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{11}{2}$與y軸于F點，如圖，則（0，-$\frac{11}{2}$），利用兩點間的距離公式計算出BF=$\frac{11\sqrt{5}}{2}$，BC=2$\sqrt{5}$，證明Rt△BEC∽Rt△BFO，利用相似比計算出BE=5，易得E（6，0），則EC=$\sqrt{5}$，然后證明Rt△BEC∽Rt△DEO，利用相似比計算出OD=12，則D點坐標為（0，12）；
（2）利用待定系數(shù)法求直線CD的解析式．

解答 解：（1）當y=0時，$\frac{1}{2}$x-$\frac{11}{2}$=0，解得x=11，則B點坐標為（11，0）；
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{11}{2}}\\{y=-\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-4}\end{array}\right.$，則A（3，-4）；
∵CD垂直平分AB，
∴C點坐標為（7，-2）；
設(shè)直線y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{11}{2}$與y軸于F點，如圖，則（0，-$\frac{11}{2}$），
BF=$\sqrt{O{F}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{11\sqrt{5}}{2}$，BC=$\sqrt{（11-7）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠EBC=∠FBO，
∴Rt△BEC∽Rt△BFO，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{BC}{OB}$，即$\frac{BE}{\frac{11\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{11}$，解得BE=5，
∴OE=OB-BE=6，
∴E（6，0），
∴EC=$\sqrt{（7-6）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠BEC=∠DOE，
∴Rt△BEC∽Rt△DEO，
∴$\frac{EC}{OE}$=$\frac{BC}{OD}$，即$\frac{\sqrt{5}}{6}$=$\frac{2\sqrt{5}}{OD}$，解得OD=12，
∴D點坐標為（0，12）；
（2）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
把D（0，12），E（6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=-2x+12．

點評 本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．