Question

在△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC=2，點(diǎn)P是同一平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BPC=90°，連接AP，線段AP的最小值和最大值分別是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,等腰直角三角形

專題：

分析：由于∠BPC=90°，所以點(diǎn)P在以BC為直徑的圓O上．以BC為直徑作圓O，連結(jié)AO交圓于兩點(diǎn)，則AP₁最小，AP₂最大．

解答：解：如圖，以BC為直徑作圓O，連結(jié)AO交圓于兩點(diǎn)P₁，P₂，則AP₁最小，AP₂最大．
∵AP₁•AP₂=AC²，AC=2，P₁P₂=2，
∴AP₁（AP₁+2）=4，
解得AP₁=-1±

5

（負(fù)值舍去），
∴AP₂=-1+

5

+2=1+

5

．
故線段AP的最小值和最大值分別是-1+

5

和1+

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，切割線定理，有一定難度．確定P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．