Question

若從圓錐形紙帽的底面圓周上點(diǎn)A處用一條紅線(xiàn)繞紙帽的側(cè)面一圈，那么這樣的紅線(xiàn)至少要

 

cm．（紅線(xiàn)的接頭長(zhǎng)度忽略不計(jì)）

Answer 1

考點(diǎn)：平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題,圓錐的計(jì)算

專(zhuān)題：

分析：將圓錐側(cè)面展開(kāi)，易得圓錐的底面周長(zhǎng)，也就是側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式可得圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)，求得側(cè)面展開(kāi)圖中AA′的距離即為最短的紅線(xiàn)長(zhǎng)．

解答：解：將圓錐側(cè)面展開(kāi)，如圖．
∵圓錐的底面半徑為20÷2=10cm，
∴圓錐的底面周長(zhǎng)為2π×10=20πcm．
設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為n，
則

nπ×30

180

=20π，
解得n=120°．
作OC⊥AA′于點(diǎn)C，則∠AOC=60°，
在直角△AOC中，∵∠OCA=90°，∠AOC=60°，AO=30cm，
∴AC=AO×sin∠AOC=15

3

cm，
∴AA′=2AC=30

3

cm．
故答案為30

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題及圓錐的計(jì)算；突破點(diǎn)是求得圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：立體幾何中的最短距離問(wèn)題要轉(zhuǎn)換為平面幾何中求兩點(diǎn)的距離問(wèn)題；圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)．