Question

16．如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以B、C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑在BC下方畫(huà)�。�設(shè)兩弧交于點(diǎn)D，與AB、AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F，連接AD、BD、CD
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若BC=6，∠BAC=50°，求弧DE、弧DF的長(zhǎng)度之和（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出BD=CD=BC，由SSS證明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=65°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定義求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出$\widehat{DE}$、$\widehat{DF}$ 的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：根據(jù)題意得：BD=CD=BC，
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{BD=CD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD=∠CAD，
即AD平分∠BAC；
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∵BD=CD=BC，
∴△BDC為等邊三角形，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴∠DBE=∠DCF=55°，
∵BC=6，∴BD=CD=6，
∴$\widehat{DE}$ 的長(zhǎng)度=$\widehat{DF}$的長(zhǎng)度=$\frac{55×π×6}{180}$=$\frac{11π}{6}$；
∴$\widehat{DE}$、$\widehat{DF}$ 的長(zhǎng)度之和為$\frac{11π}{6}$+$\frac{11π}{6}$=$\frac{11π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算；熟練掌握全等三角形和等邊三角形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．