Question

17．如圖，AB為⊙O的直徑，D為半圓的中點，DE⊥弦BC于E，連接BD，OE．
（1）求證：OE⊥CD；
（2）若BE=2，OE=$\sqrt{2}$，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD、OC，要證OE⊥CD，只要證DE=EC，OE平分∠DEC，由D為半圓的中點，DE⊥弦BC于E，易得△DOE≌△COE，進而得出結論；
（2）作OH⊥EC，運用等腰直角三角形的性質和勾股定理計算即可．

解答 解：（1）證明：連接OD、OC，
∵D為半圓的中點，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}$
∴∠A=∠BCD=45°
∵DE⊥BC
∴∠CED=90°
∴∠CDE=∠DCE
∴CE=DE
在△DOE和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}\\{OD=OC}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△COE，
∴∠DEO=∠CEO
∴OE⊥CD；
（2）作OH⊥EC，
∵∠OEH=45°，OE=$\sqrt{2}$，
∴OH=EH=1
∵BE=2，
∴BH=3
∴BO=$\sqrt{10}$
∵∠ABD=45°OD⊥AB
∴△BOD是等腰直角三角形
∴BD=$\sqrt{2}$OB=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了圓周角定理，三角形全等的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質以及勾股定理的運用，有一定的綜合性，難度適中．