Question

2．已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．

（1）如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)E，連結(jié)AP、EP、EA．求證：△ECP∽△PDA；
（2）若△ECP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，問在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、B、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)和相似三角形的判定定理證明結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得到$\frac{EC}{PD}$=$\frac{EP}{PA}$=$\frac{CP}{DA}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)EP=x，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案；
（3）根據(jù)題意和分情況討論思想畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的判定定理求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，
由折疊的性質(zhì)可知，AP=AB，PE=BE，∠PAE=∠BAE，∠APE=∠B，
∴∠APE=90°，
∴∠APD=∠PEC，
∴△ECP∽△PDA；
（2）△ECP與△PDA的面積比為1：4，
∴$\frac{EC}{PD}$=$\frac{EP}{PA}$=$\frac{CP}{DA}$=$\frac{1}{2}$，
∴PD=2EC，PA=2EP，DA=2CP，
∵AD=8，
∴CP=4，
設(shè)EP=x，則EB=x，CE=8-x，
由勾股定理得，x²=（8-x）²+4²，
解得，x=5，
∴AB=AP=2EP=10，
∴邊AB的長(zhǎng)為10；
（3）如圖，以O(shè)B、BE為鄰邊時(shí)，AM′=BE=5，
∴M′的坐標(biāo)為（0，5），
以BE為邊、AB為對(duì)角線時(shí)，
AM′′=BE=5，
∴M′′的坐標(biāo)為（0，-5），
以AB為邊、BE為對(duì)角線時(shí)，
M′M′′′=2AB=20，
∴M′′′的坐標(biāo)（20，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、翻折變換的性質(zhì)是對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的正確運(yùn)用．