Question

△ABC是一個(gè)等邊三角形，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，由P點(diǎn)分別向BC，CA和AB引垂線，PD，PE，PF，判斷PD，PE，PF的和為常數(shù)嗎？說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a，求出等邊三角形的高，再根據(jù)△ABC的面積等于△PAB、△PBC、△PAC三個(gè)三角形面積的和，列式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高．

解答：解：PD，PE，PF的和為常數(shù)．
理由：設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a
∵正三角形的邊長(zhǎng)為a，
∴高為a×sin60°=

3

2

a，
∴S_△ABC=

1

2

×a×

3

2

a=

3

4

a²，
∵PD、PE、PF分別為BC、AC、AB邊上的高，
∴S_△PBC=

1

2

BC•PD，S_△PAC=

1

2

AC•PE，S_△PAB=

1

2

AB•PF，
∵AB=BC=AC，
∴S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=

1

2

BC•PD+

1

2

AC•PE+

1

2

AB•PF=

1

2

×2（PD+PE+PF）=PD+PE+PF，
∵S_△ABC=S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB，
∴PD+PE+PF=

3

2

a，
∴PD，PE，PF的和為常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，主要利用等邊三角形三邊相等的性質(zhì)和三角形的面積等于被分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題中由一般到特殊的解題思想．