Question

10．如圖，AD是△ABC的高，點Q、M在BC邊上，點N在AC邊上，點P在AB邊上，AD=60cm，BC=40cm，四邊形PQMN是矩形．
（1）求證：△APN∽△ABC；
（2）若PQ：PN=3：2，求矩形PQMN的長和寬．

Answer 1

分析 （1）由四邊形PQMN是矩形，得到PN∥BC，即可得到三角形相似；
（2）由三角形相似得到比例式即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）∵四邊形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，
∴∠APN=∠B，∠ANP=∠C，
∴△APN∽△ABC；

（2）∵△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
又∵PQ：PN=3：2，
設(shè)PQ=3xcm，則PN=2xcm，
∴$\frac{2x}{40}=\frac{60-3x}{60}$，
解得：x=10，
∴PQ=30，PN=20．
答：矩形PQMN的長和寬分別是30cm和20cm．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．