Question

18．如圖，二次函數(shù)Y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，則四邊形OCDA的面積的最大值是8．

Answer 1

分析 根據(jù)解析式求得點(diǎn)A、C坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，運(yùn)用割補(bǔ)法即可得到：四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，據(jù)此列式計(jì)算化簡就可求得S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系，配方成頂點(diǎn)式可得其最值情況．

解答 解：在y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2中，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴C（0，2），
當(dāng)y=0時(shí)，有-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=0，解得：x=-4或x=1，
∴點(diǎn)A（-4，0）、B（1，0），

∵點(diǎn)D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，
∴D（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），
過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，則DH=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2，AH=m+4，HO=-m，
∵四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，
∴S=$\frac{1}{2}$（m+4）×（-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）+$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2+2）×（-m），
=-m²-4m+4
=-（m+2）²+8，（-4＜m＜0）；
則m=-2時(shí)，S取得最大值，最大值為8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用割補(bǔ)法列出面積的函數(shù)解析式及配方法是解決問題的關(guān)鍵．