Question

9．如圖，已知等邊△ABC中，點D為射線BA上一點，作DE=DC，交直線BC于點E．∠ABC的平分線BF，交CD于點F，過點A作AH⊥CD于H．當∠EDC=30°，CF=$\frac{4}{3}$，則DH=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 連接AF，證明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再證明DH=AH=$\frac{1}{2}$=5．

解答 解：連接AF．
∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
在△ABF和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°，
∵AH⊥CD，
∴AH=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{2}{3}$，
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE=75°-60°=15°，
∴∠ADH=15°+30°=45°，
∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵，注意輔助線的作法．