Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A′與點A是對應(yīng)點，點B′與點B是對應(yīng)點，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上，則AA′的長為（　　）

• A、4

  3

• B、6
• C、3

  3

• D、3

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：先利用互余計算出∠BAC=30°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=2BC=4，接著根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A′B′=AB=4，B′C=BC=2，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判斷△CAA′為等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性質(zhì)計算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=2，然后利用AA′=AB′+A′B′進行計算．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×2=4，
∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，
∴A′B′=AB=4，B′C=BC=2，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，
∴△CAA′為等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∵A、B′、A′在同一條直線上，
∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=60°-30°=30°，
∴B′A=B′C=2，
∴AA′=AB′+A′B′=2+4=6．
故選B．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．