Question

14．已知關(guān)于x的一元二次方程方程（a-2）x²+2ax+a-3=0．
（1）若方程有兩個實數(shù)根，求a的取值范圍．
（2）若x₁，x₂是方程的兩個實數(shù)根，且${{x}_{1}}^{2}$x₂+x₁${{x}_{2}}^{2}$=-1，試求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根的判別式和已知得出a-2≠0且△≥0，求出即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-$\frac{2a}{a-2}$，x₁•x₂=$\frac{a-3}{a-2}$，變形后代入，即可得出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程方程（a-2）x²+2ax+a-3=0有兩個實數(shù)根，
∴a-2≠0且△≥0，
即a≠2，
△=（2a）²-4（a-2）（a-3）=20a-24≥0，
a≥$\frac{6}{5}$，
即a的取值范圍是a≥$\frac{6}{5}$且a≠2；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-$\frac{2a}{a-2}$，x₁•x₂=$\frac{a-3}{a-2}$，
∵${{x}_{1}}^{2}$x₂+x₁${{x}_{2}}^{2}$=-1，
∴x₁x₂（x₁+x₂）=-1，
∴$\frac{a-3}{a-2}$•（-$\frac{2a}{a-2}$）=-1，
解得：a=1$±\sqrt{5}$，
由（1）知：a≥$\frac{6}{5}$且a≠2，
∴a=1-$\sqrt{5}$舍去，
所以a=1+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系等知識點，能熟記根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．