Question

在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，A=10，BD=4，求∠A的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：作CE⊥AB于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)的DE=DC，設(shè)CD=x，AC=y，則DE=x，再證明Rt△ACD≌Rt△AED得AC=AE=y，則BE=AB-AE=10-y，然后證明Rt△BDE∽R(shí)t△BAC，利用相似比得到x=

2

5

y；接著在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得x²+（10-y）²=4²，則（

2

5

y）²+（10-y）²=4²，解方程得解得y₁=

210

29

，y₂=10（舍去），則x=

84

29

，最后根據(jù)正切的定義求解．

解答：解：作CE⊥AB于E，如圖，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DC，
設(shè)CD=x，AC=y，則DE=x，
在Rt△ACD和△AED中，

DC=DE AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE=y，
∴BE=AB-AE=10-y，
∵∠DBE=∠ABC，
∴Rt△BDE∽R(shí)t△BAC，
∴

DE

AC

=

BD

AB

，即

x

y

=

4

10

，
∴x=

2

5

y，
在Rt△BDE中，
∵DE²+BE²=BD²，
∴x²+（10-y）²=4²，
∴（

2

5

y）²+（10-y）²=4²，
整理得29y²-500y+2100=0，
解得y₁=

210

29

，y₂=10（舍去），
∴x=

2

5

×

210

29

=

84

29

，
在Rt△ABC中，tanA=

BC

AC

=

4+ 84 29

210 29

=

20

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了角平分線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．