Question

14．如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′位置，此時AC的中點恰好與D點重合，AB′交CD于點E．若AB=6，則△AEC的面積為（　�。�

• A． 12
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)后AC的中點恰好與D點重合，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋轉(zhuǎn)后矩形與已知矩形全等及矩形的性質(zhì)得到∠DAE為30°，進而得到∠EAC=∠ECA，利用等角對等邊得到AE=CE，設(shè)AE=CE=x，表示出AD與DE，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出EC的長，即可求出三角形AEC面積．

解答 解：∵旋轉(zhuǎn)后AC的中點恰好與D點重合，即AD=$\frac{1}{2}$AC′=$\frac{1}{2}$AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，設(shè)AE=EC=x，則有DE=DC-EC=AB-EC=6-x，AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，
根據(jù)勾股定理得：x²=（6-x）²+（2$\sqrt{3}$）²，
解得：x=4，
∴EC=4，
則S_△AEC=$\frac{1}{2}$EC•AD=4$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．