Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，交AB于點E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．
（1）求證：直線DF與⊙O相切；
（2）求證：△BED∽△BCA；
（3）若AE=7，BC=6，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，利用AB=AC，OD=OC，證得OD∥AD，易證DF⊥OD，故DF為⊙O的切線；
（2）根據圓內接四邊形的性質得到∠BED=∠C，然后根據相似三角形的判定定理即可得到結論；
（3）證得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可．

解答 （1）證明：如圖，連接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵點D在⊙O上，
∴直線DF與⊙O相切；

（2）證明：∵∠BED=∠C，∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA；

（3）解：∵四邊形ACDE是⊙O的內接四邊形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
又∵AE=7，
∴$\frac{3}{7+BE}=\frac{BE}{6}$，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．

點評 此題考查了切線的判定，三角形相似的判定與性質，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．