Question

9．操作與探究：如圖1，在銳角∠MON的邊OM、ON上分別取點A、C，使OA=OC，在OC上取點B，作?ABCD，連接AC、BD交于點P，作射線OP．
（1）求證：OP平分∠MON．
（2）移動點B使∠BPC=∠MON，求證：?ABCD是矩形．
（3）如圖3，在（2）的條件下，去OA中點Q連接QB，將∠BPC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌�，得到∠EPF（點E、F分別是∠EPF的兩邊與QB的延長線、ON的交點）．猜想線段PE與PF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SSS判定△AOP≌△COP，即可得到∠AOP=∠COP，進而得出結(jié)論：OP平分∠MON；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠PBC=∠OAC，再根據(jù)等邊對等角可得∠OAC=∠OCA，根據(jù)等角對等邊可得PB=PC，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，即可判定?ABCD是矩形；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可設(shè)∠BPC=∠EPF=α，根據(jù)等腰△BCP內(nèi)角和為180°，可得∠PBC=90°-$\frac{1}{2}$α，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，可得∠PBE=90°+$\frac{1}{2}$α，進而得出∠PCF=∠PBE，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BPE=∠CPF，最后根據(jù)ASA即可判定△PBE≌△PCF，進而得到線段PE與PF之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AP=CP，
在△AOP和△COP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{OP=OP}\\{AP=CP}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△COP（SSS），
∴∠AOP=∠COP，
∴OP平分∠MON；

（2）證明：∵∠BPC=∠MON，∠BCP=∠ACO，
∴∠PBC=∠OAC，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC，
又∵AC=2PC，BD=2PB，
∴AC=DB，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴?ABCD是矩形；

（3）線段PE與PF之間的數(shù)量關(guān)系為：PE=PF．
證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可設(shè)∠BPC=∠EPF=α，則
等腰△BCP中，∠PBC=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠PCF=∠BPC+∠PBC=α+90°-$\frac{1}{2}$α=90°+$\frac{1}{2}$α，
∵∠ABO=90°，Q為AO的中點，
∴Rt△AOB中，BQ=$\frac{1}{2}$AO=OQ，
∴∠O=∠QBO=∠EBC，
又∵∠BPC=∠MON=α，
∴∠EBC=α，
∴∠PBE=∠PBC+∠EBC=90°-$\frac{1}{2}$α+α=90°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠PCF=∠PBE，
由旋轉(zhuǎn)可得，∠BPC=∠EPF，
∴∠BPE=∠CPF，
在△PBE和△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPE=∠CPF}\\{BP=CP}\\{∠PCF=∠PBE}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△PCF（ASA），
∴PE=PF．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．解題時注意：對角線相等的平行四邊形是矩形．