Question

19．如圖I，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC邊于點E，BD平分∠ABE交AC于F，交O于點D，且∠BDE=∠CBE．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）延長ED交直線AB于點P，如圖2，若PA=AO，DE=3，求$\frac{PD}{DE}$的值及AO的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接BE．由AB是直徑，推出∠AEB=90°，推出∠A+∠ABE=90°，由∠A=∠D=∠EBC推出∠ABE+∠EBC=90°，即∠ABC=90°，由此即可證明；
（2）如圖2中，連接OD、BE．首先證明BE∥OD，由PA=OA=OB，推出OP=2OB，即可推出$\frac{PD}{DE}$=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{2}{1}$，由PD•PE=PA•PA，可得3OB²=54，求出OB即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，連接BE．
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∵∠A=∠D=∠EBC，
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線．

（2）如圖2中，連接OD、BE．
∵BD平分∠ABE，
∴D 是$\widehat{AE}$的中點，
∴OD⊥AE，∵AE⊥BE，
∴BE∥OD，
∵PA=OA=OB，
∴OP=2OB，
∴$\frac{PD}{DE}$=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{2}{1}$，
∴PD=2DE=6，
∵△PDB∽∠PAF，
∴$\frac{PA}{PD}$=$\frac{PE}{PB}$，
∴PD•PE=PA•PA，
∴3OB²=54，
∴OB=OA=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查切線的判定、垂徑定理、平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．