Question

4．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（m+6）x+3m+9=0的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂．
（1）求證：該一元二次方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若n=x₁+x₂-5，判斷動點P（m，n）所形成的函數(shù)圖象是否經(jīng)過點A（4，5），并說明理由；
（3）若兩根滿足x₁-2x₂=m，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由△=b²-4ac，套入數(shù)據(jù)得出△=m²≥0，由此得出結(jié)論；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=m+6，結(jié)合n=x₁+x₂-5，可得出n=m+1，再驗證點A是否在函數(shù)n=m+1上即可；
（3）由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x₁-2x₂=m，得出關(guān)于x₁、x₂、m的三元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△=b²-4ac=（m+6）²-4（3m+9）=m²+12m+36-12m-36=m²≥0，
∴該一元二次方程總有兩個實數(shù)根．
（2）解：動點P（m，n）所形成的函數(shù)圖象經(jīng)過點A（4，5），理由如下：
∵x₁+x₂=m+6，n=x₁+x₂-5，
∴n=m+1，
∵當m=4時，n=5，
∴動點P（m，n）所形成的函數(shù)圖象經(jīng)過點A（4，5）．
（3）解：由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=m+6}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=3m+9}\\{{x}_{1}-2{x}_{2}=m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{{x}_{1}=3}\\{{x}_{2}=2}\end{array}\right.$．
故若兩根滿足x₁-2x₂=m，m的值為-1．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）找出b²-4ac≥0；（2）由兩根之間的關(guān)系得出n=m+1；（3）結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找出關(guān)于x₁、x₂、m的三元一次方程組．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合給定條件得出方程（或方程組）是關(guān)鍵．