Question

18．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+2（a≠0）與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸的交點(diǎn)是C．
（1）求出拋物線(xiàn)的表達(dá)式、對(duì)稱(chēng)軸；
（2）M為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得S_△ABM=$\frac{5}{4}$S_△COB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+2，解方程組即可解決問(wèn)題．
（2）存在．根據(jù)S_△ABM=$\frac{5}{4}$S_△COB，列出方程求出點(diǎn)M縱坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)M坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+2，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{2a}$=$\frac{3}{2}$．

（2）存在．
理由：當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即C（0，2），
在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×4=4．
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$×AB•|M_y|=5，
∵AB=5，
∴M_y=±2，
當(dāng)y=2時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，解得x=0或3，
當(dāng)y=-2時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2，解得x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（3，2）或（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）或（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．