Question

如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，分別連接PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接PQ、QC．
（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并說明你的結(jié)論；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，試判斷△PQC的形狀，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：常規(guī)題型

分析：（1）易證△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；
（2）根據(jù)PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC為直角三角形．

解答：解：（1）∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，∴△BPQ為等邊三角形，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，

AB=CB ∠ABP=∠CBQ BP=BQ

，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，
（2）∵等邊△ABC和等邊△BPQ中，
PB=PQ=4，PA=QC=3，
∵PQ²+CQ²=PC²，
∴△PQC為直角三角形（勾股定理逆定理）．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了勾股定理逆定理的運(yùn)用，本題中求證△ABP≌△CBQ是解題的關(guān)鍵．