Question

16．在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-（k+1）x+k與x軸相交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C
（1）若k=-1，直接寫出線段AB的長：AB=2；
（2）若AB=4，則k的值為-3；
（3）在（2）的條件下，
①求直線BC的解析式；
②點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，試求△PBC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若k＜0，且△ABC是等腰三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）k=-1時(shí)，拋物線解析式為y=x²-1，然后解方程x²-1=0得到B（-1，0），則AB=2；
（2）先確定B（-3，0），再利用交點(diǎn)式寫出拋物線解析式，從而得到k的值；
（3）①先確定C（0，-3），再解方程x²+2x-3=0得到B（-3，0），然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式；
②作PQ∥y軸交BC于Q，如圖，設(shè)P（t，t²-2t-3），則Q（t，-t-3），PQ=-t-3-（t²+2t-3）=-t²-3t，利用三角形面積公式得到S_△PBC=S_△PBQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$•PQ•3=-$\frac{3}{2}$t²$\frac{9}{2}$t，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（4）先解方程x²-（k+1）x+k=0得到B（k，0），再確定C（0，k），利用勾股定理得到BC=-$\sqrt{2}$k，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{k}^{2}}$，然后分類討論：當(dāng)CA=CB時(shí)，即-k=1；當(dāng)BA=BC時(shí)，1-k=-$\sqrt{2}$k；當(dāng)AB=AC時(shí)，1-k=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，再分別解方程求出滿足條件的k的值．

解答 解：（1）k=-1時(shí)，拋物線解析式為y=x²-1，
當(dāng)x=0時(shí)，x²-1=0，解得x₁=1，x₂=-1，則B（-1，0），
∴AB=1-（-1）=2；

（2）∵AB=4，A（1，0），
∴B（-3，0），
∴拋物線的解析式為y=（x+3）（x-1），
即y=x²+2x-3；
∴k=-3；
故答案為2，-3；

（3）①當(dāng)x=0時(shí)，y=x²+2x-3=3，則C（0，-3），
當(dāng)y=0時(shí)，x²+2x-3=0，解得x₁=1，x₂=-3，則B（-3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
把B（-3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x-3；
②作PQ∥y軸交BC于Q，如圖，設(shè)P（t，t²-2t-3），則Q（t，-t-3），
則PQ=-t-3-（t²+2t-3）=-t²-3t，
S_△PBC=S_△PBQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$•PQ•3=-$\frac{3}{2}$t²$\frac{9}{2}$t=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時(shí)，PBC面積有最大值，最大值為$\frac{27}{8}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；

（4）當(dāng)y=0時(shí)，x²-（k+1）x+k=0，解得x₁=1，x₂=k，則B（k，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²-（k+1）x+k=k，則C（0，k），
∴BC=$\sqrt{{k}^{2}+{k}^{2}}$=-$\sqrt{2}$k，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{k}^{2}}$，
當(dāng)CA=CB時(shí)，OA=OB，即-k=1，解得k=-1；
當(dāng)BA=BC時(shí)，1-k=-$\sqrt{2}$k，解得k=-$\sqrt{2}$-1，
當(dāng)AB=AC時(shí)，1-k=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，解得k=0（舍去），
綜上所述，滿足條件的k的值為-1或-$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式．