Question

如圖，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．
（1）求證：AD=CE，AD⊥CE；
（2）若△DBE繞點B旋轉到△ABC的外部其他條件不變，則（1）中結論是仍然成立？畫出圖形，證明你結論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠ABD與∠CBE的關系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AD與CE的關系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠CGF與∠GCF的關系，根據(jù)直角三角形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠ABD與∠CBE的關系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AD與CE的關系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠CGF與∠GCF的關系，根據(jù)直角三角形的判定，可得答案．

解答：（1）證明：如圖1，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠DBC，
即∠ABD=∠CBE．
在△ABD和△CBE中

AB=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∵AD=CE，∠BAD=∠BCE．
∵∠AGB與∠CGF是對頂角，
∴∠AGB=∠CGF．
∵∠BAD+∠AGB=90°，
∴∠GCF+∠CGF=90°，
∴∠CFG=90°，
∴AD⊥CE；
（2）AD=CE，AD⊥CE，理由如下
如圖2：，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠DBC，
即∠ABD=∠CBE．
在△ABD和△CBE中

AB=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE．
∵∠AGB與∠CGF是對頂角，
∴∠AGB=∠CGF．
∵∠BAD+∠AGB=90°，
∴∠GCF+∠CGF=90°，
∴∠CFG=90°，
∴AD⊥CE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，直角三角形的判定．