Question

為解方程x⁴-5x²+4=0，我們可以將x²視為一個(gè)整體，然后設(shè)x²=y，則x⁴=y²，
原方程化為y²-5y+4=0．①
解得y₁=1，y₂=4
當(dāng)y=1時(shí)，x²=1．∴x=±1
當(dāng)y=4時(shí)，x²=4，∴x=±2．
∴原方程的解為x₁=1，x₂=-1，x₃=2，x₄=-2
解答問題：
（1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，利用

 

法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了

 

的數(shù)學(xué)思想．
（2）解方程：（x²-2x）²+x²-2x-6=0．

Answer 1

考點(diǎn)：換元法解一元二次方程

專題：閱讀型

分析：（1）根據(jù)換元法的定義得到例題中使用了換元法，把四次降為2次，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；
（2）設(shè)x²-2x=t，則原方程化為t²+t-6=0，解得t₁=-3，t₂=2，再分別解方程x²-2x=-3和x²-2x=2，然后寫出原方程的解．

解答：解：（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
故答案為換元，轉(zhuǎn)化；
（2）設(shè)x²-2x=t，
原方程化為t²+t-6=0，解得t₁=-3，t₂=2，
當(dāng)t=-3時(shí)，x²-2x=-3，即x²-2x+3=0，此方程無實(shí)數(shù)解；
當(dāng)t=2時(shí)，x²-2x=2，解得x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
所以原方程的解為x₁=1+

3

，x₂=1-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了換元法解一元二次方程：把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．