Question

4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P是AC上一點(diǎn)，且BP平分∠ABC，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)P．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（1）若△ABP的面積-△BPC的面積=2，PC=1，求PA的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OP，如圖，由BP平分∠ABC得∠CBP=∠OBP，由OB=OP得∠OBP=∠OPB，則∠CBP=∠OPB，根據(jù)平行線的判定得OP∥BC，則利用平行線的性質(zhì)得到∠APO=∠C=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形面積公式由△ABP的面積-△BPC的面積=2可得BC（PA-1）=4，即BC=$\frac{4}{PA-1}$，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可推出$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，則AB=PA•BC，接著利用勾股定理有AB²=AC²+BC²，所以PA²•BC²=（AP+1）²+BC²，移項(xiàng)變形得到（AP+1）²=BC²（PA²-1），所以PA+1=BC²（PA-1），然后把BC=$\frac{4}{PA-1}$代入得到關(guān)于PA的方程，然后解方程即可．

解答 （1）證明：連結(jié)OP，如圖，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP=∠OBP，
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB，
∴∠CBP=∠OPB，
∴OP∥BC，
∴∠APO=∠C=90°，
∴OP⊥AP，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵△ABP的面積-△BPC的面積=2，PC=1，
∴$\frac{1}{2}$AP•BC-$\frac{1}{2}$PC•BC=2，
∴BC（PA-1）=4，
∴BC=$\frac{4}{PA-1}$
∵OP∥BC，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OP}{BC}$，$\frac{AP}{PC}$=$\frac{AO}{OB}$
∴$\frac{AO}{OP}$=$\frac{AB}{BC}$，
而OP=OB，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，則AB=PA•BC，
∵AB²=AC²+BC²，
∴PA²•BC²=（AP+1）²+BC²，
∴（AP+1）²=BC²（PA²-1），
∴PA+1=BC²（PA-1），
∴PA+1=（$\frac{4}{PA-1}$）²•（PA-1），
∴PA=$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了平行線分線段成比例定理．