Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（2，0）．點(diǎn)P是x軸上方拋物線上一動點(diǎn)（不落在y軸上），過點(diǎn)P作PD∥x軸交y軸于點(diǎn)D．PC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，矩形PDOC的周長為L．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)矩形PDOC的面積被拋物線的對稱軸平分時，求m的值．
（3）求L與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）設(shè)直線y=x與矩形PDOC的邊交于點(diǎn)Q，當(dāng)△OCQ為等腰直角三角形時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將A（-1，0）和B（2，0）代入y=-x²+bx+c建立方程組求出b和c的值即可；
（2）當(dāng)矩形PDOC的面積被拋物線的對稱軸平分時，點(diǎn)P、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出拋物線的對稱軸為x=1，結(jié)合點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為0，即可得出m的值；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)P在y=-x²+x+2圖象上，所以可以求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)進(jìn)而求出點(diǎn)D和點(diǎn)C的坐標(biāo)，又因?yàn)辄c(diǎn)P的位置不確定，所以要分兩種情況分別討論L和m的函數(shù)關(guān)系①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時；
（4）畫出函數(shù)圖象，分兩種情形考慮即可①Q(mào)在PC邊上，②Q在PD邊上．分別求解即可．

解答 解：（1）將A（-1，0）和B（2，0）代入y=-x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+x+2．
         
（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)P在y=-x²+x+2圖象上，
∴P（m，-m²+m+2）．D（0，m），
∵P、D關(guān)于對稱軸x=1對稱，
∴$\frac{m}{2}$=1，
∴m=1時，矩形PDOC的面積被拋物線的對稱軸平分．
                  
（3）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)P在y=-x²+x+2圖象上，
∴P（m，-m²+m+2）．
∵PD∥x軸，PC∥y軸，
∴四邊形PDOC為矩形，
∴D（0，-m²+m+2），C（m，0），
①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，
∴PD=OC=m，PC=DO=-m²+m+2，
∴L=2m+2（-m²+m+2）=-2m²+4m+4，
∴L=-2m²+4m+4．
②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時，
∴PD=OC=-m，PC=DO=-m²+m+2，
∴L=-2m+2（-m²+m+2）=-2m²+4．
∴L=-2m²+4，
綜上所述，L=-2m²+4m+4或L=-2m²+4

（4）如圖，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-{x}^{2}+x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴M（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），N（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
由圖象可知，0＜m＜$\sqrt{2}$或m＜-$\sqrt{2}$時，△OCQ是等腰直角三角形．
當(dāng)Q₁（$\frac{m}{2}$，$\frac{m}{2}$）時，即$\frac{m}{2}$=-m²+m+2時，△CQ₁O是等腰直角三角形，
此時m=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$，
綜上所述，當(dāng)，0＜m＜$\sqrt{2}$或m＜-$\sqrt{2}$或m=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$時，△OCQ是等腰直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的確定方法、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程的運(yùn)用，題目的難點(diǎn)體現(xiàn)在（3）和（4）兩問中需要分類討論的數(shù)學(xué)思想，防止遺漏問題的解，屬于中考壓軸題．