Question

已知點(diǎn)A（4，0）及在第一象限的動點(diǎn)P（x，y），且x+y=6，設(shè)△OPA的面積為S．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求S=10時P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)點(diǎn)Q為y軸上一動點(diǎn)，當(dāng)PQ+AQ的值最小時，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先把x+y=6，變形成y=6-x，再利用三角形的面積求法：底×高÷2=S，可以得到S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面積S＞0，可得到x的取值范圍；
（2）把S=10代入函數(shù)解析式即可；
（3）根據(jù)題意畫出圖象，作出A的對稱點(diǎn)A′，連接PA′，此時PA′與y軸交于點(diǎn)Q，此時PQ+AQ的值最小，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）∵x+y=6，
∴y=6-x，
∴S=4（6-x）÷2=12-2x，
∵12-2x＞0，
∴x＜6，
∴0＜x＜6，

（2）∵s=10，
∴10=12-2x，
解得：x=1，
∴y=6-1=5，
∴s=10時，P點(diǎn)坐標(biāo)（1，5）；

（3）如圖所示．
作出A的對稱點(diǎn)A′，連接PA′，此時PA′與y軸交于點(diǎn)Q，此時PQ+AQ的值最小，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
∴A′（-4，0），
∴將（-4，0），（1，5）代入y=kx+b，
∴

-4k+b=0 k+b=5

，
解得：

k=1 b=4

，
∴y=x+4，
∴x=0時，y=4，
當(dāng)PQ+AQ的值最小時，Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，4）．

點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及畫一次函數(shù)的圖象和最短路線求法，解題時一定要注意自變量的取值范圍．