Question

19．如圖，四邊形ABDE是平行四邊形，點(diǎn)F、點(diǎn)C為對(duì)角線AD上的兩點(diǎn)，且AF=DC．
（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形．
（2）若∠ABC=90°，∠BAC=30°，AB=3，求當(dāng)AF為何值時(shí)，四邊形BCEF是菱形？

Answer 1

分析 （1）連接對(duì)角線BF，證明四邊形BCEF的對(duì)角線互相平分即可；
（2）當(dāng)AF為$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形BCEF是菱形，利用三角函數(shù)求出BC和AC的長(zhǎng)，說(shuō)明△BCF是等邊三角形，則
BF=BC，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接BE交AD于O，
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴OB=OE，OA=OD，
∵AF=DC，
∴OF=OC，
∴四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）當(dāng)AF為$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形BCEF是菱形，
理由是：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC=30°，AB=3，
∴BC=AB×tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，AC=2BC=2$\sqrt{3}$，
當(dāng)AF=$\sqrt{3}$時(shí)，則CF=$\sqrt{3}$，
∴CF=BC，
∵∠ACB=90°-30°=60°，
∴△BCF是等邊三角形，
∴BF=FC=BC，
∴?BCEF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形和菱形的性質(zhì)和判定，是�？碱}型，在判定一個(gè)四邊形是平行四邊形時(shí)，如果有對(duì)角線的關(guān)系，常證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和菱形的判定方法．