Question

8．（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底邊是BC，點D在線段AB上，E是直線BC上一點，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如圖①）．求證：EB=AD；
（2）若將（1）中的“點D在線段AB上”改為“點D在線段AB的延長線上”，其它條件不變（如圖②），（1）的結(jié)論是否成立，并說明理由；
（3）若將（1）中的“若∠A=60°”改為“若∠A=90°”，其它條件不變，則$\frac{EB}{AD}$的值是多少？（直接寫出結(jié)論，不要求寫解答過程）

Answer 1

分析 （1）作DF∥BC交AC于F，由平行線的性質(zhì)得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，證明△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，證出△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知條件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS證明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結(jié)論；
（2）作DF∥BC交AC的延長線于F，同（1）證出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結(jié)論；
（3）作DF∥BC交AC于F，同（1）得：△DBE≌△CFD，得出EB=DF，證出△ADF是等腰直角三角形，得出DF=$\sqrt{2}$AD，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：作DF∥BC交AC于F，如圖1所示：
則∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，
∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，
∴△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°，
∴AD=DF，
∵∠DEC=∠DCE，
∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，
在△DBE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FDC}&{\;}\\{∠DBE=∠DFC=120°}&{\;}\\{ED=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD；
（2）解：EB=AD成立；理由如下：
作DF∥BC交AC的延長線于F，如圖2所示：
同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，
又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴在△DBE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FDC}&{\;}\\{∠DBE=∠DFC}&{\;}\\{ED=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD；
（3）解：$\frac{EB}{AD}$=$\sqrt{2}$；理由如下：
作DF∥BC交AC于F，如圖3所示：
同（1）得：△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∵△ABC是等腰直角三角形，DF∥BC，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF=$\sqrt{2}$AD，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{EB}{AD}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．