Question

13．如圖，已知二次函數(shù)y=-x²-2x+3的圖象交x軸于A、B兩點（A在B左邊），交y軸于C點．
（1）求A、B、C三點的坐標和直線AC的解析式；
（2）點P是直線AC上方拋物線上一動點（不與A，C重合），過點P作x軸平行線交直線AC于M點，求線段PM的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與坐標軸的交點特點．分別令x=0，y=0，求出點A、B、C的坐標；再用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；
（2）設點P的坐標為（a，-a²-2a+3），由點P和點M的縱坐標相等，求點M的橫坐標，然后可得PM=-a²-3a，根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標公式，求出PM的最大值即可．

解答 解：（1）令y=0，得：-x²-2x+3=0，解得：x1=-3，x2=1，
∴點A（-3，0），點B（1，0）；
令x=0，得：y=3，
∴點C（0，3）；
設直線AC的解析式為：y=kx+b，點A（-3，0），點C（0，3）在直線AC上，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=x+3．
（2）如圖所示，
設點P的坐標為（a，-a²-2a+3），
由PM∥x軸，可知點M的縱坐標為-a²-2a+3，
∴x+3=-a²-2a+3，
∴x=-a²-2a，
∴PM=-a²-2a-a=-a²-3a（-3＜a＜0），
當a=$-\frac{2a}=-\frac{-3}{-2}=-\frac{3}{2}$時，PM_最大=$\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查拋物線與坐標軸的交點、二次函數(shù)的最值，在第二小題中，用含a的式子表示出點P和點M的橫坐標是解決此題的關鍵．