Question

4．如圖，已知⊙O的直徑為AB，AC⊥AB于點A，BC與⊙O相交于點D，在AC上取一點E，使得ED=EA．
（1）求證：ED是⊙O的切線．
（2）當OA=3，OE=6時，求線段AE、線段DE和弧AD圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OD．通過證明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易證得結(jié)論；
（2）在Rt△OAE中，由OA=3，OE=6，得出cos∠AOE=$\frac{1}{2}$，得出∠AOE=60°，進而求得AE的長和∠AOD=120°，然后根據(jù)S_{四邊形OAED}-S_扇形OAD即可求得線段AE、線段DE和弧AD圍成的圖形的面積．

解答 （1）證明：如圖，連接OD．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．
在△AOE與△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{OE=OE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴ED是⊙O的切線； 
（2）解：如圖，在Rt△OAE中，OA=3，OE=6，
∴$cos∠AOE=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOD=120°，AE=OE•sin∠AOE=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$AE•OA=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{四邊形OAED}=2S_△AOE=9$\sqrt{3}$，
∴線段AE、線段DE和弧AD圍成的圖形的面積=S_{四邊形OAED}-S_扇形OAD
=9$\sqrt{3}$-$\frac{120π×{3}^{2}}{360}$
=9$\sqrt{3}$-3π．

點評 本題考查了切線的判定以及扇形的面積，求得△AOE≌△DOE和∠AOE=60°是解題的關(guān)鍵．