Question

4．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O與AC相交于點(diǎn)M，弦MN∥BC，與AB相交于點(diǎn)E，且ME=1，AM=2，AE=$\sqrt{3}$，則弧BN的長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{3}}{9}$π．

Answer 1

分析 先根據(jù)勾股定理判斷出△AME的形狀，再由垂徑定理得出$\widehat{BN}$=$\widehat{BM}$，由銳角三角函數(shù)的定義求出∠A的度數(shù)，故可得出∠MOB的度數(shù)，求出OM的長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．

解答 解：∵△AME中，ME=1，AM=2，AE=$\sqrt{3}$，
∴AE²+ME²=AM²，
∴△AME是直角三角形，即AE⊥MN，
∵sinA=$\frac{ME}{AM}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∴∠MOB=60°，
∴$\frac{ME}{OM}$=sin∠MOB，即$\frac{1}{OM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得OM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵AE⊥MN，
∴$\widehat{BN}$=$\widehat{BM}$，
∴弧BN的長(zhǎng)為：$\frac{60π×\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$π．
故答案是$\frac{2\sqrt{3}}{9}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理，涉及到直角三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，難度適中．求出∠MOB的度數(shù)以及⊙O的半徑是解題的關(guān)鍵．