Question

3．問題情境：矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線的交點處，以點P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別與邊AB、BC所在的直線相交，交點為E、F．

探究1：如圖1，當(dāng)PE⊥AB，PF⊥BC時，則$\frac{PE}{PF}$=$\sqrt{3}$；
探究2：如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，將三角板繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，（0°＜α＜60°），試求$\frac{PE}{PF}$的值．
探究3：在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)60°＜α＜90°時，將頂點P在AC上移動且使$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$時，如圖3，試求$\frac{PE}{PF}$的值．

Answer 1

分析 （1）證明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得$\frac{PE}{PF}$的值；
（2）如答圖1所示，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，證明△PME∽△PNF，并利用（1）的結(jié)論，求得$\frac{PE}{PF}$的值；
（3）如答圖2所示，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，首先證明△APM∽△PCN，求得$\frac{PM}{PN}$的值；然后證明△PME∽△PNF，從而由$\frac{PE}{PF}$求得$\frac{PE}{PF}$的值．與（1）（2）問相比較，$\frac{PE}{PF}$的值發(fā)生了變化．

解答 解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA=PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE=∠CPF．
∵在△APE與△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠CPF}\\{PA=PC}\\{∠APE=∠PCF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE=CF．
在Rt△PCF中，$\frac{PF}{CF}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．
（2）如答圖1，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，則PM⊥PN．

0°～30°時
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{PM}{PN}$，
由（1）知，$\frac{PM}{PN}=\sqrt{3}$，
∴$\frac{PE}{PF}=\sqrt{3}$．
同理30°～60°時，
$\frac{PE}{PF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）如答圖2，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，則PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．

∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴$\frac{PM}{CN}=\frac{AP}{PC}=\frac{1}{2}$，得CN=2PM．
在Rt△PCN中，$\frac{PN}{CN}$=$\frac{PN}{2PM}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{PM}{PN}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識點．本題三問的解題思路是一致的：即都是直接或作輔助線構(gòu)造直角三角形，通過相似三角形或全等三角形解決問題．