Question

20．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB′C′D′，圖中重合部分四邊形AB′OD的面積為$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以推出△ADO≌△AB′O，所以重合部分的面積為2△ADO的面積，進(jìn)而求出即可．

解答 解：連接AO，連接B′C，
∵兩個正方形的邊長都為1，將其中一個固定不動，另一個繞頂點A旋轉(zhuǎn)45°，
∴A，B′，C三點在一條直線上，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∴B′O=B′C，
在Rt△ADO和Rt△AB′O中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB′}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O（HL），
∴OD=B′O，
設(shè)DO=x，
∴B′O=x，OC=1-x，
∴x²+x²=（1-x）²，
解得：x=-1-$\sqrt{2}$（不合題意舍去），或x=-1+$\sqrt{2}$，
∴四邊形AB′OD的面積=2S_△AC′M=2×$\frac{1}{2}$×1×（-1+$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)定理、三角形的面積、全等三角形的判定和性質(zhì)．解題關(guān)鍵在于求出DO=B′O的長度．