Question

13．如圖，∠AOB=90°，點P為∠AOB內一點．
（1）分別作出P點關于OA、OB的對稱點P₁，P₂；（不寫作法）
（2）求證：P₁，O，P₂三點在同一直線上；
（3）若OP=5，求P₁P₂的長度．

Answer 1

分析 （1）過P作BO的垂線，垂足為M，再截取PM=P₁M，同方法作P點關于OA的對稱點P₁；
（2）根據軸對稱的性質可得BO是P₁P₂的垂直平分線，AO是P₁P的垂直平分線，再根據垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等可得P₁O=PO，P₂O=PO，然后可證明∠1+∠4=90°，再證明∠P₁OP₂=180°，從而可得P₁，O，P₂三點在同一直線上；
（3）首先證明四邊形OMPN是矩形，可得∠MPN=90°，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP=$\frac{1}{2}$P₁P₂，進而可得答案．

解答 （1）解：如圖所示：

（2）證明：
∵P點關于OA、OB的對稱點P₁，P₂，
∴BO是P₂P的垂直平分線，AO是P₁P的垂直平分線，
∴P₁O=PO，P₂O=PO，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠AOB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠P₁OP₂=180°，
∴P₁，O，P₂三點在同一直線上；

（3）解：∵P點關于OA、OB的對稱點P₁，P₂，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴四邊形OMPN是矩形，
∴∠MPN=90°，
∵P₁O=PO，P₂O=PO，
∴P₁O=P₂O=PO，
∴PO是P₁P₂的中線，
∴OP=$\frac{1}{2}$P₁P₂，
∵OP=5，
∴P₁P₂=10．

點評 此題主要考查了作圖--軸對稱變換，以及直角三角形的性質，關鍵是掌握對稱軸是對稱點連線的垂直平分線．