Question

8．如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，BC，D是劣弧AC的中點(diǎn)，連接OD，交AC于點(diǎn)E，連接BD，交CE于點(diǎn)F，若EF：CF=1：3，OE=1.5，則BD的長(zhǎng)度為（　�。�

• A． 3
• B． 5
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 先根據(jù)圓周角定理得出∠C=90°，再由D是劣弧AC的中點(diǎn)得出OD⊥AC，故AC=2CE，OE∥BC，設(shè)EF=x，則CF=3x，由三角形中位線定理得出BC的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出DE的長(zhǎng)，故可得出⊙O的半徑．由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出EF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵D是劣弧AC的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
∴AC=2CE，OE∥BC．
∵EF：CF=1：3，OE=1.5，
∴設(shè)EF=x，則CF=3x，
∵點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，
∴OE是△ABC的中位線，
∴BC=2OE=3．
∵OE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{DE}{3}$=$\frac{1}{3}$，即BF=3DE，BF=3DF，
∴DE=1，
∴OD=1.5+1=2.5，
∴AB=2OD=5，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}-{BC}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴EF=$\frac{1}{4}$CE=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\sqrt{{EF}^{2}+{DE}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BF=3DF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=DF+BF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理，涉及到垂徑定理、圓周角定理、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．