Question

6．定義：一次函數(shù)y=ax+b的特征數(shù)為[a，b]，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的特征數(shù)為[1，k]．
（1）若特征數(shù)是[1，p-1]的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求p的值；
（2）如圖，若一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象分別交于第一、第三象限的A、B兩點，與y軸正半軸交于點C，點A的坐標為（m，2），點B的坐標為（-2，n），tan∠AOC=$\frac{1}{2}$．求該一次函數(shù)和反比例函數(shù)的特征數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正比例函數(shù)的定義和特征數(shù)的定義得b=0，即p-1=0，解得p=1；
（2）過點A作AD⊥y軸于D，如圖，則AD=2，OD=m，在Rt△OAD中，利用∠AOD的正切可計算求出m=1，則A（1，2），再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，接著利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征確定B點坐標，然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再根據(jù)特征數(shù)的定義求解．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=ax+b為正比例函數(shù)，
∴b=0，即p-1=0，
∴p=1；
（2）過點A作AD⊥y軸于D，如圖，則AD=2，OD=m，
在Rt△OAD中，∵tan∠AOD=$\frac{AD}{OD}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{m}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴m=1，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=1×2=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{x}$，
把B（-2，n）代入y=$\frac{2}{x}$得n=$\frac{2}{-2}$=-1，
∴B（-2，-1），
把A（1，2）、B（-2，-1）代入y=ax+b$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{-2a+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1，
∴一次函數(shù)的特征數(shù)為[1，1]，反比例函數(shù)的特征數(shù)為[1，2]．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了閱讀理解能力．