Question

17．△ABC中，∠C=60°，點D，E分別是邊AC，BC上的點，點P是直線AB上一動點，連接PD，PE，設(shè)∠DPE=α．
（1）如圖①所示，如果點P在線段BA上，且α=30°，那么∠PEB+∠PDA=90°；
（2）如圖②所示，如果點P在線段BA上運動，
①依據(jù)題意補全圖形；
②寫出∠PEB+∠PDA的大�。ㄓ煤�α的式子表示）；并說明理由．
（3）如果點P在線段BA的延長線上運動，直接寫出∠PEB與∠PDA之間的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）．那么∠PEB與∠PDA之間的數(shù)量關(guān)系是60°+α或60°-α或60°；．

Answer 1

分析 （1）連接PC，由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意畫出圖形即可；
②由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況討論，由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解；（1）∠PEB+∠PDA=90°；理由如下；
連接PC，如圖1所示
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB=∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角
∴∠PDA=∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA=∠1+∠2+∠3+∠4=∠C+∠DPE=60°+30°=90°
故答案為：90°；
（2）①如圖2所示；
②連接PC，如圖3所示：
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB=∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角，
∴∠PDA=∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA=∠1+∠2+∠3+∠4=∠C+∠DPE=60°+α；
∴∠PEB+∠PDA=60°+α；
（3）分三種情況：
①如圖4所示：
連接PC，
由三角形的外角性質(zhì)得：
∠PEB=∠ACB+∠1+∠2+∠3，∠PDA=∠1+∠2
∴∠PEB-∠PDA=∠ACB+∠3=60°+α；
②如圖5所示：連接PC，
由三角形的外角性質(zhì)得：
∠PEB=∠ACB+∠1+∠2，∠PDA=∠1+∠2+∠3，
∴∠PEB-∠PDA=∠ACB-∠3=60°-α；
③如圖6所示：P、D、E在同一條直線上，連接PC，
由三角形的外角性質(zhì)得：
∠PEB=∠ACB+∠1+∠2，∠PDA=∠1+∠2，
∴∠PEB-∠PDA=∠ACB=60°；
綜上所述：如果點P在線段BA的延長線上運動，
∠PEB與∠PDA之間的數(shù)量關(guān)系是60°+α或60°-α或60°；
故答案為：60°+α或60°-α或60°．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了三角形的外角性質(zhì)、角之間的數(shù)量關(guān)系；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線運用三角形的外角性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，注意（3）中分類討論．