Question

20．如圖，AB為⊙O的直徑，PB、PC分別是⊙O的切線，切點(diǎn)為B、C，PC、BA的延長線交于點(diǎn)D，DE⊥PO，交PO的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：∠DPO=∠EDB；
（2）若PB=3，DB=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由切線長定理，知∠DPO=∠BPO，在△EOD和△BOP中，根據(jù)等角的余角相等，得∠BPO=∠EDB，從而問題得證．
（2）在Rt△PBD中由勾股定理易得PD的長、由切線長定理知PB=PC，可計(jì)算出CD的長；若設(shè)圓的半徑為r，OD=4-r，OC=r，在Rt△DCO中，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于r的方程，求出⊙O的半徑．

解答 （1）證明：∵PC、PB是⊙O的切線，
∴∠DPO=∠OPB，
∵DE⊥PO，∴∠E=90°，
∵點(diǎn)B是切點(diǎn)，PB是切線
所以∠PBD=90°，
∴∠E=∠PBD，又∵∠POB=∠EOD
∴∠EDB=∠OPB
∴∠DPO=∠EDB

 （2）解：連接OC，
∵PC、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B、C，
∴PB=PC，∠PCO=90°．
在Rt△PBD中，∵PB=3，DB=4，∴PD=5，
∴DC=PD-PC=2
設(shè)⊙O半徑為r，則OD=BD-r=4-r
在Rt△DCO中，r²+2²=（4-r）²
∴r=1.5
即⊙O的半徑為1.5．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理，切線長定理、切線的性質(zhì)及一元二次方程的解法．解決本題（1）的關(guān)鍵是利用切線長定理得到∠DPO=∠OPB，由同角的余角相等得到∠BPO=∠EDB；解決（2）的關(guān)鍵是利用勾股定理得到關(guān)于半徑的方程．