Question

如圖1，點D為△ABC內(nèi)一點，連結BD，CD．

（1）探究∠BDC與∠A，∠ABD，∠ACD之間的關系，并說明理由；
（2）請直接用（1）中的結論，解決以下三個問題：
①當∠BDC=120°時，若∠A=50°，則∠ABD+∠ACD=

 

°；
②如圖2，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BDC=120°，∠A=50°，求∠BEC的度數(shù)；
③如圖3，∠ABD，∠ACD的n等分線相交于點E₁，E₂，…，E_n-1，若∠BDC=x°，∠BE₁C=y°，求∠A的度數(shù)（用含x，y，n的式子表示）．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質

專題：

分析：（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長至點F，由外角定理可知，一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，則容易得到∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；
（2）①由（1）的結論可得∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠A，代入數(shù)值即可求得；
②結合圖形可得∠BDC=∠ABD+∠A+∠ACD，代入∠A=50°，∠BDC=120°即可得到∠ABD+∠ACD的值，再利用上面得出的結論可知∠BEC=

1

2

（∠ABD+∠ACD）+∠A，易得答案．
③由（2）的方法，推廣到一般進而可得答案．

解答：解：（1）∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；
理由如下：
連接AD并延長到E點，

∵∠BDE=∠BAE+∠ABD，
∠EDC=∠EAC+∠ACD，
∴∠BDE+∠EDC=∠BAE+∠EAC+∠ABD+∠ACD，
∵∠BDC=∠BDE+∠EDC，
∠BAC=∠BAE+∠EAC，
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD．

（2）①當∠BDC=120°時，若∠A=50°，則∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠A=120°-50°=70°．
②∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴∠ABE=

1

2

∠ABD，∠ACE=

1

2

∠ACD，
∠BEC=∠ABE+∠ACE+∠A=

1

2

（∠ABD+∠ACD）+∠A=

1

2

×（120°-50°）+50°=85°；
③以此類推

1

n

（∠BDC-∠A）+∠A=∠BE₁C，
則∠A=

ny-x

n-1

°．

點評：本題考查三角形外角的性質及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關鍵是溝通外角和內(nèi)角的關系；熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關鍵．