Question

如圖，一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=

4

3

x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸交y軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O→C→A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)R以相同速度從B出發(fā)沿BO方向運(yùn)動(dòng)．過(guò)R作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)Q，．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)R停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)P在線段OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)△APR的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）是否存在t值使得△APQ為等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式組成方程組，求出方程組的解即可得到A的坐標(biāo)，由一次函數(shù)y=-x-7，令y=0求出x的值，即可確定出B坐標(biāo)；
（2）由A的坐標(biāo)確定出AC與OC的長(zhǎng)，表示出CP與OR，三角形APR面積=梯形ACOR面積-三角形APC面積-三角形OPR面積，列出S關(guān)于t的函數(shù)解析式即可；
（3）分三種情況考慮：情況1：當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，∠PAQ=90°，PA=AQ，直線RQ與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，如圖（2）所示，利用同角的余角相等得到∠2=∠3，利用AAS得到三角形ACP與三角形QMA全等，得到MQ=AC=3，求出D坐標(biāo)確定出OD=OB，得到∠ABO=45°，得到三角形QBR為等腰直角三角形，即QR=RB=t，根據(jù)MQ+QR=MR列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；情況2：當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，∠APQ=90°，PA=PQ，如圖（3）所示，根據(jù)AP=QP求出t的值；情況3：當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，∠AQP=90°，QA=PQ，如圖（4）所示，設(shè)AC與QR交于點(diǎn)K，根據(jù)AP=2AK求出t的值，綜上，存在t值使得△APQ為等腰直角三角形，求出滿足題意所有t的值即可．

解答：解：（1）聯(lián)立得：

y=-x+7 y= 4 3 x

，
解得：

x=3 y=4

，即A（3，4），
在y=-x+7中，令y=0，得到x=7，即B（7，0）；

（2）∵OP=BR=t，AC⊥y軸，如圖（1）所示，
∴AC=3，OC=4，
∴CP=CO-PO=4-t，OR=OB-BR=7-t，
∴S_梯形ACOR=

AC+OR

2

•OC=

3+7-t

2

×4=20-2t，S_△APC=

AC•CP

2

=

1

2

×3（4-t）=6-

3

2

t，S_△OPR=

OR•OP

2

=

1

2

t（7-t）=

7

2

t-

1

2

t²，
∴S=S_△APR=S_梯形ACOR-S_△APC-S_△OPR=20-2t-（6-

3

2

t）-（

7

2

t-

1

2

t²）=

1

2

t²-4t+14（0≤x≤4）；

（3）分三種情況即可：
情況1：當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，∠PAQ=90°，PA=AQ，直線RQ與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，如圖（2）所示，
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△ACP和△QMA中，

∠ACO=∠QMA=90° ∠3=∠2 AP=AQ

，
∴△ACP≌△QMA（AAS），
∴MQ=AC=3，
設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)D，即D（0，7），
∴OD=OB=7，∴∠ABO=45°，
∴QR=BR=t，
∵M(jìn)Q+QR=OC，
∴3+t=4，即t=1；
情況2：當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，∠APQ=90°，PA=PQ，如圖（3）所示，
此時(shí)AP=AC+OC-t=7-t，QP=QR-PR=t-4，
∴7-t=t-4，即t=

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2

；
情況3：當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，∠AQP=90°，QA=PQ，如圖（4）所示，
設(shè)AC與QR交于點(diǎn)K，
∴AP=2AK，即7-t=2（t-4），
解得：t=5，
綜上，存在△APQ是等腰直角三角形，此時(shí)t=1或t=

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2

或t=5．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：兩直線的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握一次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．