Question

1．如圖1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=$\frac{3}{5}$，直線MN過點(diǎn)C，∠ACM=∠B，點(diǎn)P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)D在射線CB上，滿足∠DAP=∠BAC，設(shè)PC=x，S_△ABD=y，設(shè)直線PD交直線AC于點(diǎn)E．
（1）若點(diǎn)P在射線CM上，
①求證：△ABD∽△ACP；
②求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出x的范圍．
（2）是否存在x的值，使△PCE為等腰三角形？若存在，直接寫出x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等進(jìn)行判定即可．
（2）利用相似三角形性質(zhì)求出BD即可解決問題．
（3）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在射線CM上時(shí)，只有EC=EP這種情形，先證明△ACD∽△BCA，得到AC²=CD•CB，然后在RT△DEC中利用勾股定理即可解決．
②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在射線CN上時(shí)，只有CP=CE這種情形，只要證明PC=CE=CA即可解決問題．

解答 （1）①證明：∵∠DAP=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAP，
又∵∠ACM=∠B，
∴△ABD∽△ACP；
②由①得：△ABD∽△ACP，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CP}$，即$\frac{10}{6}=\frac{BD}{x}$，
解得：BD=$\frac{5}{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$•$\frac{5x}{3}$×6=5x．
當(dāng)點(diǎn)D與C重合時(shí)，BD=8=$\frac{5}{3}$x，
x=$\frac{24}{5}$，
∴0＜x≤$\frac{24}{5}$．
（2）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在射線CM上時(shí)，
∵△ABD∽△ACP，
∴∠ADB=∠APC，
∴A、D、C、P四點(diǎn)共圓，
∴∠APD=∠ACD=90°，
∴∠PEC=∠DCE+∠EDC＞90°，
∵△PEC是等腰三角形，
∴只有EC=EP，設(shè)EC=EP=x，
∴∠ECP=∠EPC=∠EAD=∠EDA，
∴AD∥PC，
∴∠DAC=∠ACP=∠ABC，∠ACD=∠ACB，
∴△ACD∽△BCA，
∴AC²=CD•CB，
∴6²=CD•8，
∴CD=$\frac{9}{2}$，
在RT△DEC中，∵∠DCE=90°，CE=x，DE=6-x，
∴（6-x）²=（$\frac{9}{2}$）²+x²，
∴x=$\frac{21}{16}$．
∴CE=$\frac{21}{16}$．
②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在射線CN上時(shí)，
∵△ABD∽△ACP，
∴∠APC=∠ADB，
∴A、D、P、C四點(diǎn)共圓，
∴∠APD=∠ACB=90°
如果EC=EP，則∠∠EPC=∠ECP=∠EAD=∠EDA，PC∥AD，這個(gè)顯然不可能，所以EC≠EP，
如果PC=PE，則∠PCE=∠PEC=∠ADE，所以AD=AE，因?yàn)锳P⊥DE，所以PA平分∠DAE，顯然不可能，∴PC≠PE，
只有CP=CE，∴∠CPE=∠E，∵∠CPE+∠APC=90°，∠E+∠PAC=90°，
∴∠PAC=∠APC，
∴PC=AC=CE=6，
綜上所述：EC=6或$\frac{21}{16}$時(shí)，△PCE是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形綜合題、四點(diǎn)共圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用四點(diǎn)共圓證明AP⊥DP，學(xué)會(huì)分類討論的思想，屬于中考�？碱}型．